Tous droits de propriété industrielle et intellectuelle réservés.http://www.universalis.fr/encyclopedie/bernhard-riemann/ The basic idea of the Riemann integral is to use very simple approximations for the area of S.By taking better and better approximations, we can say that "in the limit" we get exactly the area of S under the curve.. If the type of partition is limited too much, some non-integrable functions may appear to be integrable. The simplest possible extension is to define such an integral as a limit, in other words, as an This definition carries with it some subtleties, such as the fact that it is not always equivalent to compute the In general, this improper Riemann integral is undefined.

C'est là que, après avoir rappelé (chap. We will choose them in two different ways. Quoique Jacobi ne donnât plus de cours, l'école qu'il avait fondée était toujours florissante et parmi les professeurs de Clebsch on compte F. Richelot et O. Hesse, élèves de Jaco […] For example, the Again, alone this restriction does not impose a problem, but the reasoning required to see this fact is more difficult than in the case of left-hand and right-hand Riemann sums. […] To be specific, we say that the Riemann integral of Unfortunately, this definition is very difficult to use. One popular restriction is the use of "left-hand" and "right-hand" Riemann sums. If we agree (for instance) that the improper integral should always be Une intégrale définie est égale à l'aire d'un domaine délimité par la courbe représentative d'une fonction et l'axe des abscisses sur un intervalle donné. On a l'habitude de considérer que la notion de variété différentiable est due à B.  Riemann.


Le mathématicien allemand Rudolf Friedrich Alfred Clebsch est né le 19 janvier 1833 à Königsberg (auj. In a left-hand Riemann sum, Another popular restriction is the use of regular subdivisions of an interval. En termes géométriques, cette intégrale est interprétée comme l’aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement. Une généralisation possible de l'intégrale de Riemann est l'intégrale de RiemannStieltjes, qui elle rend possible d'étendre le concept de l'intégrale en utilisant comme variable d'intégration sous le signe de différentiel une fonction (appelée l'intégration):. Si, lorsque n tend vers l'infini, de sorte que le plus grand des pas x i - x i-1 tende vers 0, la somme S n admet une limite finie indépendamment du choix de la subdivision et qui n'est autre que l'intégrale de f sur [a,b] (au sens de Riemann) : Toute fonction numérique continue sur [a,b] est intégrable au sens de Riemann sur cet intervalle. Even standardizing a way for the interval to approach the real line does not work because it leads to disturbingly counterintuitive results. Some of the technical deficiencies in Riemann integration can be remedied with the be the region of the plane under the graph of the function The basic idea of the Riemann integral is to use very simple approximations for the area of Each term in the sum is the product of the value of the function at a given point and the length of an interval. It would help to develop an equivalent definition of the Riemann integral which is easier to work with. L’intégrale de Riemann est un moyen de définir l’intégrale, sur un segment, d’une fonction réelle bornée et presque partout continue.

In fact, this is enough to define an integral.

The most severe problem is that there are no widely applicable theorems for commuting improper Riemann integrals with limits of functions. There are We still have to choose tags for the other subintervals. In other words, To show that the second definition implies the first, it is easiest to use the (We may assume that all the inequalities are strict because otherwise we are in the previous case by our assumption on the length of To handle this case, we will estimate the difference between the Riemann sum and the Darboux sum by subdividing the partition so this term is bounded by the corresponding term in the Darboux sum for Our first step is to cut up the partition. La dissertation inaugurale de Riemann sur les Principes fondamentaux pour une théorie générale des fonctions d’une grandeur variable complexe1, soutenue en 1851, semble

But under these conditions the If we use regular subdivisions and left-hand or right-hand Riemann sums, then the two terms on the left are equal to zero, since every endpoint except 0 and 1 will be irrational, but as we have seen the term on the right will equal 1.
Intégration de Riemann/Intégrale de Riemann », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Cela signifie qu’on peut considérer cette intégrale comme une vraie intégrale, généralisant l’intégrale de Riemann. If this were not so, then we would not be getting a good approximation to the function on certain subintervals.